數列的基本思想是將一列數與自然數之間建立一一對應關系，數列的通項an實質上是一個定義域為自然數集N(或N的有限子集)。

等差數列和等比數列是兩種最基本的數列。等差數列的五個基本量a1, d , n , an ,Sn 或等比數列的五個基本量a1, q , n , an ，Sn中任意給出三個量，必能求出另外的兩個量。同時，等差數列和等比數列的項與項數之間、項與項之間存在著微妙的內在聯系，靈活運用數列內部存在的這種內在聯系，可以使解決某些數列問題的過程得到簡化，起到事半功倍的作用。

　　一，如果a1 ,a2, a3 ,a4 ,……an , ……是等差數列，其公差為d ，則有

（1）a1 +an = a2 +an-1 = a3 +an-2= ……

(2 ) a2 = a1 +d , ,a4 = a3 + d , …… a2n = a2n-1 +d ,……

利用關系式（1）、(2 )可以巧妙地解決類似下列的一系列問題：

例 1，已知{ an }是等差數列，且a1 +a2+ a3 = - 21 ，a18 + a19 + a20 =78 ,求{ an }的前20項之和。

分析：若用常規方法，可以根據條件先求出a1和d ，再用等差數列前n項和公式可以求出{ an }的前20項之和，這種方法運算比較復雜；若利用關系式（1），將已知條件進行適當地轉化，則可以簡捷地求出結果：

∵S20 = a1 +a2+ a3 + ……+ a18 + a19 + a20

=( a1+ a20) + (a2+ a19) +( a3 + a18) + ……+(a10 + a11)

由關系式（1）知： a1+ a20 = a2+ a19 = a3 + a18= ……=a10 + a11

∴S20 = 10 ( a1+ a20)

由a1 +a2+ a3 = - 21 ，a18 + a19 + a20 =78 ( a1+ a20) + (a2+ a19) +( a3 + a18)=57 3( a1+ a20)=57 a1+ a20 =19

于是S20 = 10×19=190

例 2，已知{ an }是等差數列，它的前100項之和=200，公差d = 2，求a1 + a3 + a5……+ a99的值。

分析：若用常規方法，可以根據條件先求出a1，∵a1 , a3 , a5, …… , a99是公差為2×2=4的等差數列，用等差數列前n項和公式可以a1 + a3 + a5……+ a99的值, 但是運算比較復雜；若利用關系式(2) ，則可以簡捷地求出結果：

∵a1 +a2+ a3 + ……+ a100 =200 ，

∴(a1 + a3 + a5……+ a99) +( a2+ a4 + a6……+ a100)=200

(a1 + a3 + a5……+ a99) +[(a1 +d) +( a3 + d) +( a5 + d) +……+( a99+d)] = 200

(a1 + a3 + a5……+ a99) +[(a1 + a3 + a5 + a99)+50d ] = 200

2(a1 + a3 + a5……+ a99) +50d = 200

將d = 2 代入，就可以得到a1 + a3 + a5……+ a99 = 50

二，如果a1 ,a2, a3 ,a4 ,……an , ……是等比數列，其公比為q，則有

（3）a1 an = a2 an-1 = a3 an-2= ……

(4 ) a2 = a1 q , a4 = a3 q , …… a2n = a2n-1q ,……

利用關系式（3）、(4 )可以巧妙地解決類似下列的一系列問題：

例 3，已知{ an }是等比數列 , 且a2a9 + a4a7 = 20 , 求{ an }的前10項之積。

分析：若用常規方法，根據條件無法求出a1和公比q ，應用關系式（3）可以簡捷地求出結果：

∵a2a9 + a4a7 = 20 ，a2a9 =a4a7

∴ 2 a2a9 =20 a2a9 = 10

從而a1 a2 a3 a4 ……a10 =（ a1 a10）（ a2 a9 ）……（a5 a6）=（ a1 a10）5 =105

例 4，，已知{ an }是等比數列，公比q = 2且a1 +a3+……+ a9= 100 ，求{ an }的前10項之和.

分析：若用常規方法，可以根據條件先求出a1，再用等比數列前n項和公式可以求出{ an }的前10項之和，這種方法運算比較復雜；若應用關系式（4）,可以簡捷地求出結果：

S10 = a1 +a2+ a3 + ……+ a10

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+(a2 +a4+ a6+ ……+ a10)

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+(a1q +a3 q + a5q+ ……+ a9q)

=( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )+q(a1 +a3 q+ a5+ ……+ a9)

=(1+q)( a1 +a3+ a5 + ……+ a9 )

=(1+2) ×100

=300

三 ， 當數列{ an }既不是等差數列，也不是等比數列時，要求{ an }的通項公式，可以先證明{ an＋p }（ p為常數）或{an+1 - an}成等差數列或等比數列，根據成等差數列或等比數列的通項公式，先求出an＋p或an+1 - an ，再通過推理求出an ，能夠使運算得到簡化。

例 5，在數列{ an }中，已知a1=2 ，且an+1 ＝ an＋3，求an

分析：{ an }既不是等差數列，也不是等比數列時，先證明{ an＋p }（ p為常數）成等差數列或等比數列。

由an+1 ＝ an＋3兩邊同時減去6　　 　　　　　an+1－6 ＝ an－3　　　 　　　an+1－3 ＝ （an－6），即（an+1－6）／（an－6）＝

∴｛an－6｝是公比q = 的等比數列，其首項＝a1－6＝2－6＝－4

于是｛an－6｝的通項an－6＝（－4）（ ）n-1

從而an＝（－4）（ ）n-1 ＋6

例 6 ，在數列{ an }中，已知a1=5 ，且an+1= an+2n , 求a100

分析：{ an }既不是等差數列，也不是等比數列, 先證明{an+1 - an}成等差數列或等比數列。

由an+1= an+2n an+1 - an =2n an+1 - an =2+（n – 1）×2

∴{an+1 - an}是首項＝2 ，公差 = 2的等差數列，

{an+1 - an}的前99項的和=99×2 + ×2 = 9900

即（a2 – a1）+（ a3 – a2）+ ……+（a100 – a99）= 9900

a100 – a1 = 9900 , a100 = 9900 + a1

已知a1 = 5 于是a100 = 9900 + 5 = 9905

以上是根據等差數列和等比數列的項與項數之間、項與項之間存在的內在聯系，對解決一些數列問題的方法的探討，實際上，等差數列和等比數列的項與項數之間、項與項之間還存在更廣泛的內在聯系，有待于我們進一步探尋，通過探尋這些內在聯系，可以提高解決數列問題的能力。

作者 云南省楚雄市職業高級中學數學一級教師 電話15912932906